Ряд Фур’є в теорії зв’язку: функції, розкладання, функції Уолша


Узагальнений ряд Фур’є

Нехай в комплексному просторі Гільберта задана повна система комплексних ортогональних функцій {ψ, (0}, де i = 1, 2, … ∞.

Система ортогональних функцій називається повною, або замкнутої, якщо не існує безперервної функції, не дорівнює нулю тотожно і ортогональної до всіх функцій системи.

Функції є попарно ортогональними, тобто можна записати: Якщо норма функцій || ψi (t) || = 1, то функції називаються ортонормированном. Можна також показати, що функції є лінійно-незалежними і, отже, утворюють координатний базис, при якому справедливо розкладання (2.3). У цьому випадку говорять, що задано ортогональний (або ортонормованій) базис.

Нехай деякий сигнал S (t) є сигналом з інтегрованим квадратом, який можна представити у вигляді ряду

– коефіцієнти розкладання в ортогональному базисі.

Визначимо коефіцієнти розкладання ci, для чого помножимо обидві частини рівності на базисну функцію з довільним номером j і зробимо інтегрування по часу:

Оскільки базис є ортогональним, то в правій частині рівності залишиться тільки один член суми з номером i = j. тоді Іншими словами, коефіцієнт розкладання дорівнює скалярному добутку сигналу S (t) і базисної функції.

Вираз (2.8), в якому коефіцієнти визначаються рівністю (2.9) при i = j, називається узагальненим рядом Фур’є і йому можна дати геометричну трактування. Коефіцієнти узагальненого ряду Фур’є є проекціями вектора сигналу на базисне напрямок, т. Е. На ортогональні осі (одиничні орти).

Як ортогонального базису в ТЕС широко застосовується система тригонометричних (гармонійних) функцій.

(Детальніше це буде розглянуто далі.) Крім того, в якості прикладу можна розглянути використання ортогональних функцій Уолша, що представляють собою систему функцій типу прямокутних хвиль, перші чотири з яких показані на рис 2.8. У загальному випадку функції Уолша можуть бути побудовані на основі відомих в математиці матриць Адамара. Ці функції зручно задавати на відрізку t ε [0, T], де вони рівні ± 1, їх прийнято позначати wal (k, θ), де k – номер функції Уолша; θ = t / T – безрозмірний час.

Мал. 2.8. Тимчасова діаграма перших чотирьох функцій Уолша

Подання сигналу у вигляді узагальненого ряду Фур’є на основі функцій Уолша має вигляд Для перевірки якості ортогональности знайдемо скалярний твір, наприклад, першої і другої функцій Уолша:

Крім ортогональности функції Уолша володіють ще властивістю «мультипликативности», тобто твір будь-яких двох функцій Уолша також є функцією Уолша: wal (i, θ) wal (k, θ) = wal (p, θ), де p = i ⊕ k; ⊕ – знак додавання за модулем 2.

Для такого складання числа i і k представляються в двійковій формі і підсумовуються наступним чином: 0 ⊕ 0 = 0; 1 ⊕ 1 = 0; 1 ⊕ 0 = 1; 0 ⊕ 1 = 1.

Наприклад: i = 1 => 001 (двійкову.), K = 3 => 011 (двійкову.), Тоді 001 ⊕ 011 = 010 => 2 (десяткові.).

Іншими словами, wal (1, θ) wal (3, θ) = wal (2, θ), в чому неважко переконатися.

До функцій Уолша можна застосовувати логічні операції, тому вони знаходять широке застосування в пристроях формування та цифрової обробки сигналів на базі мікропроцесорів. Сигнали на основі функцій Уолша використовуються в цифрових багатоканальних системах передачі інформації. В даний час вони також застосовуються в стільникового зв’язку на основі стандарту CDMA і його модифікацій.

Ссылка на основную публикацию