Дискретне перетворення Фур’є: математичний апарат, формули, розрахунки


Необхідність дискретного перетворення Фур’є

До сих пір ми розглядали аналогові (безперервні) сигнали. Однак в даний час при формуванні та обробці сигналів S (t) найчастіше використовуються вибірки, які виникають при дискретизації безперервного сигналу. В результаті отримують послідовність відлікових значень сигналу S (t) в точках. Ясно, що для таких сигналів непридатний апарат перетворень, заснований на інтеграл Фур’є. Для них існує особливий математичний апарат, званий дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ).

Розглянемо N-мірне комплексне евклидово простір, в якому можна ввести наступну систему базисних функцій, які називаються «базисом Фур’є» (елементами базису є вектори):

Число cxp (j2nnk / N) є k-й складової n-го базисного вектора. При будь-яких n і k дане число є значення кореня N-го ступеня з одиниці в поле комплексних чисел.

Скалярний твір базисних функцій

Тут сума звертається в нуль при m ≠ l, оскільки всі складові є комплексними числами з одиничним модулем і лінійно наростаючим аргументом.

Базис Фур’є ортогонален, але не нормований до одиниці.

Знайдемо коефіцієнти розкладання деякого сигналу S по базисних функціях:

Для цього помножимо обидві частини даного рівності скалярпо на базисний вектор ψ з номером n:

Оскільки базисні функції є ортогональними, в правій частині цього рівняння відмінно від нуля один доданок з номером k = n. Тому

тоді

Вираз (2.22) визначає послідовність коефіцієнтів, що утворюють дискретне перетворення Фур’є.

Якщо відомі коефіцієнти розкладання, тобто комплексні амплітуди (Формула), при (Формула), можна знайти відлікові значення сигналу Sk, виконавши зворотне дискретне перетворення Фур’є (ОДПФ):

Вирази (2.22) і (2.23) є по суті дискретними аналогами звичайної пари перетворень Фур’є для безперервних сигналів.

Властивості дискретне перетворення Фур’є

Відзначимо деякі властивості ДПФ.

  1. Дискретне перетворення Фур’є є лінійним перетворенням, тобто сумі (різниці) сигналів відповідає сума (різниця) їх ДПФ.
  2. Число коефіцієнтів розкладання (Формула), де (Формула), в ДПФ дорівнює числу відліків сигналу, т. Е. N. При n = Ν коефіцієнт (Формула).
  3. Коефіцієнт (Формула) (постійна складова) являє собою середнє значення всіх відліків сигналу:
  4. При парному N з формули (2.22) отримаємо
  5. Якщо відлікові значення сигналу Sk – речові числа, то коефіцієнти розкладання ДПФ, номери яких розташовані симетрично щодо N / 2, утворюють комплексно-зв’язані пари:

Коефіцієнти (CN / 2 + 1 ···> CN-1) відповідають негативним частотам. Тому при вивченні амплітудного спектра вони не дають додаткової інформації.

На закінчення зазначимо таке. При обчисленні N коефіцієнтів ДПФ необхідно виконати (N2) операцій множення. Якщо обробляються великі масиви, т. Е. Коли N ≥ 1000, застосовувати ДПФ і ОДПФ в реальному масштабі стає скрутним через обмежений швидкодії ЕОМ. Останнім часом розроблені алгоритми швидких перетворень Фур’є (БПФ), при яких число операцій множення скорочується приблизно до NlogN. Такі операції в курсі ТЕС не вивчаються, вони є предметом розгляду в спеціальних курсах і при детальному вивченні питань цифрової обробки сигналів.

Ссылка на основную публикацию