Аналітичні сигнали: огинає, миттєва фаза і миттєва частота сигналу


Загальні відомості

Нехай є гармонійне коливання де Sm, ω0, φ – відповідно амплітуда, частота і початкова фаза сигналу; ψ (t) – поточна фаза сигналу.

Цей же сигнал можна представити у вигляді де – пов’язаний сигнал, отриманий з вихідного сигналу поворотом його фази на -π / 2.

На комплексній площині такий сигнал S зображується у вигляді вектора, як показано на рис. 2.14.

Негармонійні сигнали подібно сигналу (2.24) можна представити у вигляді процесу зі змінною амплітудою (обвідної) Sm (t) і повної фазою ψ (t), тобто S (t) = Sm (t) cosψ (t). Однак таке уявлення в загальному випадку є неоднозначним.

Дійсно, нехай заданий сигнал S (t). Вибравши для нього довільну функцію S1 (t) і вважаючи (Формула), а (Формула), отримаємо (Формула).

Вибравши потім іншу функцію S2 (t), можна отримати інший набір «амплітуд» і фаз: (Формула) і т.д ..

Мал. 2.14. Геометричне уявлення комплексного сигналу

Для того щоб вистава була однозначною, як у випадку гармонійного сигналу, пов’язаний сигнал повинен бути отриманий з вихідного сигналу за допомогою повороту всіх його гармонійних складових на -π / 2.

Розглянемо тепер сигнал без постійної складової, представлений у вигляді ряду Визначимо для нього пов’язаний сигнал з вихідного сигналу за допомогою повороту всіх його складових на -π / 2:

Тоді комплексний сигнал буде мати вигляд (25)

а його реальна частина Відзначимо, що пов’язаний сигнал (Формула) можна одержати з вихідного, не вдаючись до спектральних уявленням, а використовуючи інтегральне перетворення Гільберта:

(26)

Вихідний сигнал S (t) отримаємо з сполученого сигналу за допомогою зворотного перетворення Гільберта: Функція, звана ядром перетворення Гільберта, має розрив при t = τ, тому інтеграли слід розуміти в сенсі їх головного значення, наприклад:

Часто застосовується символічна запис перетворень Гільберта:

Неважко побачити, що пряме перетворення Гільберта еквівалентно проходженню сигналу S (t) через фільтр з імпульсною характеристикою (Формула), а зворотне перетворення Гільберта еквівалентно проходженню сполученого сигналу (Формула) через фільтр, імпульсна характеристика якого (Формула).

Дійсно, можна записати (Формула).

Підставивши в цей вираз імпульсну характеристику виду (Формула), отримаємо формулу (2.26).

Дамо тепер визначення розглянутого сигналу.

Комплексний сигнал, отриманий на основі перетворення Гільберта, називається «аналітичним» і записується у вигляді виразу (2.25), де вихідний сигнал є реальна частина аналітичного сигналу. Зауважимо, що вираз (2.25), в якому S (t) і (Формула) пов’язані між собою перетвореннями Гільберта, по-перше, дозволяє отримати однозначне уявлення виду (2.24), а по-друге, обумовлює ряд важливих властивостей сигналу (Формула) , через які він отримав назву «аналітичний».

Наведемо (без доведення) лише найважливіші властивості аналітичного сигналу, що використовуються в теорії зв’язку.

  1. Перетворення Гільберта є лінійними. Так, для прямого перетворення Гільберта це властивість можна записати у вигляді причому при будь-яких постійних a1 і a2. Справедливість цієї властивості випливає безпосередньо з виразів (2.26) і (2.27).
  2. Перетворення Гільберта від постійної величини тотожно рівні нулю, т.е.Ето властивість випливає з того факту, що ядро ​​перетворення Гільберта є непарна функція аргументу τ щодо точки t = τ, отже, інтеграл від непарної функції (Формула) в межах (-∞, ∞) дорівнює нулю.
  3. Якщо при якому-небудь t = τ вихідний сигнал досягає екстремуму (максимуму або мінімуму), то в околиці цієї точки пов’язаний сигнал проходить через нуль. Сказане ілюструє рис. 2.15, де поєднані графіки S (τ) (рис. 2.15, а) і ядра перетворення (Формула) (рис. 2.15, б) в точці t, де функція має максимум. Результат перетворення Гільберта (Формула) показаний на рис. 2.15, в.

Неважко побачити, що функція (Формула) є непарною функцією аргументу τ, а значить, інтеграл від неї в симетричних межах (-∞, ∞) буде дорівнює нулю.

4. Перетворення Гільберта від гармонійних сигналів має вигляд де.

Очевидно, що для позитивних частот H [cosωt] = sinωt; H [sinωt] = -cosωt.

Доказ кожного із зазначених властивостей випливає з аналізу відомостей, наведених в даному підрозділі.

5. Зрушення фаз всіх складових дійсного сигналу на кут φ відповідає множенню аналітичного сигналу на (Формула), тобто аналітичний сигнал після повороту фаз, звідки легко обчислити і дійсний сигнал:

Мал. 2.15. Пояснення властивостей перетворень Гільберта: а – вихідний сигнал; б – ядро ​​перетворення; в – зв’язаний сигнал< /p>

Використання поняття аналітичного сигналу для визначення форми дійсного сигналу після повороту фаз всіх його спектральних складових на один і той же кут φ істотно полегшує завдання знаходження дійсного сигналу. В іншому випадку для цього було б необхідно за допомогою перетворення Фур’є знайти комплексну спектральну щільність, зробити зміщення фаз і потім виконати зворотне перетворення Фур’є.

6. Зрушення частот всіх складових сигналу на деяку величину f0 при f > 0 або f < 0 (перетворення частоти сигналу, причому сама зміна частоти f0 може бути як позитивним, так і негативним) відповідає множенню аналітичного сигналу (Формула) на множник (Формула), тобто звідки легко знайти і дійсний сигнал:

Без використання поняття аналітичного сигналу вирішити цю задачу також було б вельми складно.

7. В спектрі аналітичного сигналу містяться тільки позитивні частоти. Спектр, отриманий за допомогою перетворення Фур’є, має вигляд

Аналогічно в спектрі комплексно-сполученого аналітичного сигналу

містяться тільки негативні частоти:

Дані співвідношення випливають з формули Ейлера.

8. Твір аналітичного сигналу (Формула) і сполученого з ним аналітичного сигналу (Формула) дорівнює квадрату обвідної вихідного дійсного сигналу S (t): Таким чином, модуль аналітичного сигналу (Формула) дорівнює обвідної сигналу, тобто (Формула).

Що огинає, миттєва фаза і миттєва частота сигналу

Комплексний сигнал, як відомо, можна уявити в експоненційної формі: звідки випливає, що

Вирішуючи два останніх рівняння щодо Sm (t) і ψ (t), знайдемо

Величина Sm (t) в цих виразах називається миттєвою амплітудою, або обвідної, сигналу, а величина ψ (t) – миттєвої фазою сигналу. Похідна від миттєвої фази в часі (якщо вона існує), називається миттєвою круговою частотою сигналу:

З формули (2.31) випливає, що Sm (t) ≥ S (t), причому рівність має місце при тих значеннях t, для яких S (t) > 0. Легко переконатися, що в цих точках похідна обвідної збігається з похідною сигналу, тобто Sm (t) = S (t) (звідки і назва – огинає сигналу).

 вузькополосні сигнали

У радіотехніці і ТЕС широко застосовуються так звані вузькосмугові сигнали, які є смуговими зі спектром, показаним на рис. 2.16, але ширина їх спектра значно менше середньої частоти, тобто (Формула), де (Формула), а (Формула) – відповідно середня, максимальна і мінімальна частоти спектра сигналу.

Мал. 2.16. Спектр смугового сигналу

Для вузькосмугових сигналів (і перешкод) уявлення (2.28) і (2.29) особливо зручні, так як в цьому випадку огинає і миттєва частота виявляються повільно змінюються функціями в порівнянні з cosψ (t) і, отже, в порівнянні з самим сигналом S (t ). При цьому формулу (2.29) зручно записати в такий спосіб:  причому

Можливо і перетворення співвідношення (2.28) виду

тут  являє собою функцію часу, звану комплексної обвідної сигналу S (t). Модуль цієї функції є звичайною обвідної, а аргумент – миттєвої початковою фазою θ (t).

Комплексну огибающую можна також представити у вигляді

Тут справжні функції часу (Формула) і (Формула) є квадратурними складовими комплексної обвідної або низькочастотними квадратурними складовими. З їх допомогою сигнал можна представити у вигляді суми:  що випливає з виразів (2.34) і (2.37).

З огляду на «повільність» зміни функцій (Формула) і (Формула) в порівнянні з (Формула) і (Формула) з виразів (2.38) можна отримати пов’язаний сигнал:

Підставивши вирази (2.38) і (2.39) в формулу (2.31), неважко переконатися, що Sm (t) – обвідна сигналу.

Схема, зображена на рис. 2.17, ілюструє процес формування низькочастотних квадратурних складових сигналу.

Звернемо особливу увагу на наступне: не можна плутати поняття спектральних складових і миттєвої частоти, так як в першому випадку частоти, що входять в спектр, що не залежать від часу, а в другому – миттєва частота є функція часу, яка визначає швидкість зміни фази. Спектр сигналу можна виміряти за допомогою приладу – спектроаналізатора, який виконує наближене перетворення Фур’є. Миттєва частота вимірюється частотним детектором, робота якого буде розглянута далі, але по суті він реалізує вираз (2.33).

Мал. 2.17.

Ссылка на основную публикацию